Modélisation mathématique

Note préliminaire : Dans cette partie, on expose le modèle mathématique "idéal". Des limitations techniques que nous expliquons plus bas, ne nous permettent pas d'implémenter la résolution des équations régissant le système en temps réel. Ce modèle n'est donc valable que si l'on dispose d'outils suffisamment puissants permettant cette résolution.

Il s'agit en fait d'un problème de commande classique. Le processus consiste en une tige articulée (pendule inversé) placée sur un chariot mobile, comme l'illustre la figure (celle qu'il faut). La tige et le chariot ne peuvent se mouvoir que dans un plan vertical, mais les deux mouvements sont sujets à l'action du frottement.

L'objectif de commande est de maintenir le système à l'intérieur d'une certaine zone ^1.2 (appelée "zone de viabilité") par un choix judicieux de forces horizontales $u$ à appliquer au chariot.

L'état du système est déterminé par 4 variables $h, v, \theta, \omega$ désignant respectivement la position horizontale du chariot (m), la vitesse du chariot (m/s), la position angulaire de la tige (rad), la vitesse angulaire (rad/s). En supposant une distribution uniforme de poids dans la tige et l'absence d'effets élastiques, les équations régissant le comportement du système peuvent s'écrire :

$$\dot{\omega} = \frac{1}{l . \left[ \frac{4}{3} - \frac{m \, . \, cos^2 \theta}{m... ...^2 . sin \,\theta + \Phi_h}{m + M} \right] - \frac{\Phi_\theta}{m . l } \right)$$

$$\dot{v} = \frac{u \,+ m \,. \,l \,. \left( \omega^2 . \,sin \,\theta - \dot{\omega} \,. \,cos \,\theta \right) - \Phi_h}{m + M}$$

avec

$$\Phi_\theta = 0.05 \,[Nm] \,. \,sgn(\omega) + 0.005 \,[Nm/(rad/s)]\, .\, \omega$$

$$\Phi_h = 0.05 \,[N] \,. \,sgn(v) + 0.05 \,[N/(m/s)] \,.\, v$$

où $u$ est la force (exprimée en N) appliquée au chariot, $l$ est la distance du centre de masse de la tige au pivot (70 cm), $m$ est la masse de la tige (120 g), $M$ est la masse du chariot (600 g), $\Phi_\theta$ est le couple de frottement du chariot sur le rail.

Si on disposait de capteurs fournissant les 4 variables d'état, des expériences en simulation pourraient être menées en intégrant numériquement les équations ci-dessus (pas d'intégration 0.001s, méthode de Runge-Kutta d'ordre 4).

Quand bien même on arriverait à faire des mesures de tous les paramètres du système, la puissance brute de calcul du micro-contrôleur est tout de même limitée pour la résolution numérique des équations et de la gestion effective du contrôle dynamique du pendule dans des tâches parallèles. Par ailleurs, nous avons été confortés dans notre choix car des limitations intrinsèquement techniques sont apparues lors de la construction de notre pendule qui nous obligent à exclure l'implémentation du schéma de résolution numérique dans le RCX.